Hoppa till innehållet

Ekvivalens (logik)

Från Wikipedia
 Logisk operator (Logisk grind
Se även

Materiell ekvivalens och logisk ekvivalens är grundläggande ekvivalensrelationer i den klassiska logiken.

Satserna S1 och S2 sägs vara materiellt ekvivalenta om satserna har samma sanningsvärde, det vill säga att antingen båda är sanna eller båda är falska. Förhållandet symboliseras med S1S2 och kan exemplifieras med satsen pq ↔ ~q→~p, vilken är en tautologi.

Satserna S1 och S2 sägs vara logiskt ekvivalenta om "S1S2" är en logisk sanning, som exempelvis satsen S3: "x = yy = x".

Eftersom alla tautologier är logiska sanningar så är två satser, som är materiellt ekvivalenta även logiskt ekvivalenta. Alla logiska sanningar är dock inte tautologier. Exempelvis är satsen "x = x" och satsen S3 ovan logiska sanningar men inte tautologier.

Tabell över logiska ekvivalenser

[redigera | redigera wikitext]
Ekvivalenser Benämning

Identitetslagar

Dominanslagar

Idempotenta lagar
Dubbel negationslag

Kommunativa lagar

Associativa lagar

Distributiva lagar

De Morgans lagar

Absorbativa lagar

Negationslagar

där S = sann och F = falsk.

Satserna nedan är kontrapositionerade, det vill säga av typen pq respektive ~q → ~p och är enligt ovan materiellt ekvivalenta och således logiskt ekvivalenta.

  1. Om min klocka går rätt så är tåget försenat.
  2. Om tåget inte är försenat så går min klocka inte rätt.

Ekvivalensen mellan kontrapositionerade satser är en tautologi, oberoende av satsernas betydelse eller kausala samband.

Materiell ekvivalens

[redigera | redigera wikitext]
Materiell ekvivalens. A respektive B är antingen båda sanna eller båda falska

Materiell ekvivalens är den klassiska logikens representation av den språkliga betydelsen "p om och endast om q", som skrivs pq och har sanningstabellen

p q pq
S S S
S F F
F S F
F F S

där S står för sant och F för falskt.

Ekvivalensen är således sann endast om p och q båda är sanna eller båda falska.

En ekvivalens kan sägas utgöra en "dubbel implikation", det vill säga att pq har samma betydelse som satserna pq och qp tillsammans:

p q pq qp (pq) ∧ (qp)
S S S S S
S F F S F
F S S F F
F F S S S

Inom matematiken används vanligen en dubbelskriven pil , för att beteckna ekvivalens. Exempel: x2 = 1 ⇔ x = 1 eller x = -1.

Tekniska lösningar

[redigera | redigera wikitext]

I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etc kan funktioner som motsvarar ekvivalens realiseras.

Trappomkastare

[redigera | redigera wikitext]
En trappomkastare realiserar funktionen materiell ekvivalens.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. MacMillan 1971.
  • Georg Henrik von Wright, Logik, filosofi och språk, Berlingske 1957.
  • Howard Kahane, Logic and Philosophy, A Modern Introduction, Wadsworth Publishing Company, Belmont California, 1969.
  • Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Håkan Ohlssons Boktryckeri Lund 1967.